快樂數（happy number）有以下的特性：在給定的進位製下，該數字所有數位(digits)的平方和，得到的新數

再次求所有數位的平方和，如此重復進行，最終結果必為1。

例如，以十進位為例：

2 8 → 2^2+8^2=68 → 6^2+8^2=100 → 1^2+0^2+0^2=1

3 2 → 3^2+2^2=13 → 1^2+3^2=10 → 1^2+0^2=1

3 7 → 3^2+7^2=58 → 5^2+8^2=89 → 8^2+9^2=145 → 1^2+4^2+5^2=42 → 4^2+2^2=20 → 2^2+0^2=4 → 4^2=16 → 1^2+6^2=37……

因此28和32是快樂數，而在37的計算過程中，37重覆出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環，不會出現1，因此37不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS中的數列A00770） ：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100。

也許我們能在小於10的進位製之下發現更有趣的東西。這樣數字中就不會夾著字母了。167比9的倍數大5，那麽在能整除9的進製中，數字的末位是5，看上去比笨拙的7喜慶多了。（當然，這只是對我們習慣了十進製的眼睛來說的，在9進製之下5的含義和我們想象的並不一樣。）在9進製中，167寫作205，但是我個人更喜歡81進製中的25，它很簡潔。

在不同的進位製之下研究167引出了另一個有趣的事實：167是一個嚴格的非回文數，也就是說它在2和165之間的任何一個進位製之下都不能被寫成回文數（正著讀和反著讀完全一樣的數字）。（我們停在165進製的原因是，它是167-2，而任何一個數字n在n-1進製之下都是回文數，看上去都是11的形式。）目前為止，我們還不知道嚴格非回文數的數目，不過167的下一個非回文數是179，再下一個是223。

上面列出來的這些特征，完全足以證明舉辦一個慶典的必要性，除此之外，167還是一個安全素數，一個非常cototient質數，一個全循環質數。我特別喜歡最後一個：這意味著存在一個166位的數字，它的每個倍數都是數字的循環排列。也就是說，當你把這個數乘上一個整數之後，得到的積恰好是原來的數的數字，排列順序相同，但是起點不同，例如142857×2=285714。